（1）f′（x）=x（x-1），

∴函数f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；

（2）f′（x）=（x-a）（x-1），

由f（1）=

1

2

a-

1

6

＞0，f（a）=-

1

6

a3+

1

2

a2＜0，

解得a＞3；

（3）①当a＞1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是g（-1）=2a+2

②当-1＜a＜1时，0＜

a+1

2

＜1，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是

max{g（-1），|g（

a+1

2

）|}=max{2a+2，

(a-1)2

4

}

解不等式2a+2-

(a-1)2

4

＞0，得5-4

2

＜a＜5+4

2

∴当-1＜a＜5-4

2

时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是

(a-1)2

4

，

当5-4

2

≤a＜1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是2a+2．

综上M（a）=

(a-1)2 4 ，-1＜a＜5-42 2a+2，5-42≤a＜1

．