问题
解答题
已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，且f（0）=7，x=1是它的极值点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试确定f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，求m的取值范围．
答案
（1）∵f（0）=7，∴b=7．
又f′（x）=[x2+（2+a）x+a+b]ex，x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即（10+2a）e=0，∴a=-5，
∴f（x）=（x2-5x+7）ex；
（2）∵f′（x）=（x2-3x+2）ex=（x-1）（x-2）ex
令f′（x）＞0得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0得1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；
（3）由（2）知f（x）最大=f（1）=3e，f（x）最小=f（2）=e2．
若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，则只需y=f（x）与y=m的图象有三个交点．
由于f（x）在（-∞，1）单调递增，且f（-1）=
＜f（2），13 e
故只要f（x）最小＜m＜f（x）最大，∴e2＜m＜3e．
故当e2＜m＜3e时，g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点．