（1）由已知，x≠-1，f′(x)=

-2x+4

(x+1)3

，…（2分）

在区间（-1，2）上，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数，

在区间（2，+∞）上，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，

所以，在区间[0，3]上，函数f（x）的最大值为f(2)=

1

3

，

又f（0）=-1，f(3)=

5

16

，所以f（x）的最小值为f（0）=-1．

所以f（x）在区间[0，3]上的值域为[-1，

1

3

]．

（2）设函数g（x）在区间[0，3]上的值域为N，根据题意，

若对于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），即[-1，

1

3

]⊆N．

①当a=0时，g（x）=x-1，在区间[0，3]上的值域N=[-1，2]，符合题意；

由已知g'（x）=（ax+1）e^ax，

②当a＞0时，在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，

即N=[-1，3e^3a-1]，因为3e^3a＞3，3e^3a-1＞2所以符合题意；

③当-

1

3

＜a＜0时，-

1

a

＞3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，即N=[-1，3e^3a-1]，

因为-

1

3

＜a＜0，所以-1＜3a＜0，

3

e

-1＜3e3a-1＜2，

比较

3

e

-1与

1

3

，即比较e与

9

4

，因为e≈2.718，所以e＞

9

4

，所以

3

e

-1＜

1

3

．

所以，根据题意，需3e3a-1≥

1

3

，解得a≥

2

3

ln

2

3

．所以

2

3

ln

2

3

≤a＜0；…（10分）

④当a≤-

1

3

时，0＜-

1

a

≤3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，

在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＜0，g（x）为减函数，在区间[0，3]上的最大值为g(-

1

a

)=-

1

ae

-1，

以下比较-

1

ae

-1与

1

3

，由于0＜-

1

a

≤3，所以-

1

ae

-1≤

3

e

-1＜

1

3

，不符合题意．…（12分）

综上，实数a的取值范围为[

2

3

ln

2

3

，+∞)．