已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明0＜f（x1）＜1．
（Ⅰ）由f′（x）=kex-2x可知，
当k＜0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex-2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2ex-x2，则f′（x）=2ex-2x，
令h（x）=2ex-2x，h′（x）=2ex-2，
由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex-2＞0，
于是h（x）=2ex-2x在（0，+∞）为增函数，
所以h（x）=2ex-2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex-2x＞0在（0，+∞）恒成立，
从而f（x）=2ex-x2在（0，+∞）为增函数，
故f（x）=2ex-x2＞f（0）=2．
（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=kex-2x=0的两个根，
即方程k=
有两个根，设φ(x)=2x ex
，则φ′(x)=2x ex
，2-2x ex
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k=
有两个根，只需0＜k＜φ(1)=2x ex
．2 e
故实数k的取值范围是(0，
)．2 e
又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=
，2x1 ex1
∴f(x1)=kex1-
=x 21
ex1-2x1 ex1
=x1(2-x1)=-x 21
+2x1=-(x1-1)2+1，x 21
由于x1∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x1）＜1．