f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)． （2分）

（Ⅰ）当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

(x＞0)．

当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0．

∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（4分）

（Ⅱ）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，

这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=0．

当0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，

这时f（x）在[1，2]上为减函数∴f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．

当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈(1，2)．

又∵对于x∈[1，

1

a

)有f′（x）＜0，

对于x∈(

1

a

，2]有f′（x）＞0，

∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

，（6分）

综上，f（x）在[1，2]上的最小值为

①当0＜a≤

1

2

时，f(x)mim=ln2-

1

2a

；

②当

1

2

＜a＜1时，f(x)min=ln

1

a

+1-

1

a

.

③当a≥1时，f（x）_min=0；（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上为增函数，

当n＞1时，∵

n

n-1

＞1，∴f(

n

n-1

)＞f(1)，

即lnn-ln(n-1)＞

1

n

，对于n∈N^*且n＞1恒成立．（10分）

lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]++[ln3-ln2]+[ln2-ln1]＞

1

n

+

1

n-1

++

1

3

+

1

2

，

∴对于n∈N^*，且n＞1时，lnn＞

1

2

+

1

3

++

1

n

恒成立．（12分）