（I）若f（x）是偶函数，则f（-1）=f（1）

可得e^|1|-1-a=e^|-1|-1+a，即1-a=1+a，所以a=0

检验：当a=0时，f（x）=e^|x|-1，得f（-x）=e^|-x|-1=e^|x|-1=f（x），符合题意

因此，实数a的值为0；

（II）①当x≥0时，f（x）=e^x-1-ax，可得

f'（x）=e^x-1-a，当x=lna+1时，f'（x）=0．

∴当0＜a≤

1

e

时，有f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数

当a＞

1

e

时，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立

此时f（x）在（0，lna+1）上是减函数，（lna+1，+∞）上是增函数

②当x＜0时，f（x）=e^-x-1-ax，可得

f'（x）=-e^-x-1-a，可得f'（x）＜0在（-∞，0）上恒成立

∴f（x）在（-∞，0）上是减函数

综上所述，当0＜a≤

1

e

时，f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；

当a＞

1

e

时，f（x）在（-∞，lna+1）上是减函数，在（lna+1，+∞）上是增函数．