（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-ax，（x∈R，a∈R），

∴f′（x）=e^x-a，

①当a≤0时，则∀x∈R有f′（x）＞0，

∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增；

②当a＞0时，f′（x）＞0⇒x＞lna，f′（x）＜0⇒x＜lna

∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）．

综合①②的当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）．

（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx定义域为（0，+∞），

又F(x)=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，

令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，

则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，

∴h′（x）＞0⇒x＞1，

h′（x）＜0⇒0＜x＜1，

∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

∴h（x）≥h（1）=e-1

由（1）知当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，

即ex-1＞x⇔

ex-1

x

＞1

∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞

随着x＞0的增长，y=e^x-1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x²的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢．

故当x＞0且x趋向+∞时，h（x）趋向+∞．得到函数h（x）的草图如图所示

故①当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点；

②当a=e-1时，函数F（x）有且仅有一个零点；

③当a＜e-1时，函数F（x）无零点；

（Ⅲ）由（2）知当x＞0时，e^x-1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0，

先分析法证明：∀x＞0，g（x）＜x

要证∀x＞0，g（x）＜x

只需证∀x＞0，

ex-1

x

＜ex

即证∀x＞0，xe^x-e^x+1＞0

构造函数H（x）=xe^x-e^x+1，（x＞0）

∴H′（x）=xe^x＞0，∀x＞0

故函数H（x）=xe^x-e^x+1在（0，+∞）单调递增，

∴H（x）＞H（0）=0，

则∀x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立．

①当a≤1时，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，

则f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立．

②当a＞1时，由（1）知，函数f（x）在（lna，+∞）单调递增，在（0，lna）单调递减，

故当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，

∴f（g（x））＞f（x），则不满足题意．

综合①②得，满足题意的实数a的取值范围（-∞，1]．