问题 选择题
已知函数y=
x3
3
+
mx2+(m+n)x+1
2
的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),记分别以m,n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为(  )
A.(1,3]B.(1,3)C.(3,+∞)D.[3,+∞)
答案

求导函数可得y'=x2+mx+

1
2
(m+n),

依题意知,方程y'=0有两个根x1、x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

构造函数f(x)=x2+mx+

1
2
(m+n),

f(0)>0
f(1)<0
,∴
m+n>0
2+3m+n<0

∵直线m+n=0,2+3m+n=0的交点坐标为(-1,1)

∴要使函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D上的点,则必须满足1<loga(-1+4)

∴loga3<1,解得a<3

又∵a>1,

∴1<a<3,

故选B.

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