（Ⅰ）当a=-2，f（x）=-

2

x

+x-3lnx-30（x＞0）∴f′(x)=

2

x2

+1-

3

x

=

x2-3x+2

x2

，

设f'（x）＞0，即x²-3x+2＞0，

所以x＜1，或x＞2，

∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；

（Ⅱ）∵F（x）=-2x³+3（a+2）x²+6x-6a-4a²，当x=1时，函数F（x）有极值，

∴F'（x）=-6x²+6（a+2）x+6，

且F'（1）=0，即a=-2，

∴F（x）=-2x³+6x-4，

又F（x）=-2x³+6x-4的图象可由F1(x)=-2x3+6x的图象向下平移4个单位长度得到，而F1(x)=-2x3+6x的图象关于（0，0）对称，

所以F（x）=-2x³+6x-4的图象的对称中心坐标为（0，-4）；

（Ⅲ）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，

设h₁（x）=F（x）-6x²+6（a-1）x•e^x，h2(x)=e•f(x)=e•(

a

x

+x+(a-1)lnx+15a)，

h′1(x)=(-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2)•ex，

设m（x）=（-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²），

当g（x）在[a，-a]上为减函数，则h₁（x）在[a，1]上为减函数，h₂（x）在[1，-a]上为减函数，且h₁（1）≥h₂（1）．

由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），

由h₁（1）≥h₂（1）得：4a²+13a+3≤0，

解得：-3≤a≤-

1

4

，

当h₁（x）在[a，1]上为减函数时，对于∀x∈[a，1]，h'₁（x）≤0即m（x）≤0恒成立，

因为m'（x）=-6（x+2）（x-a），

（1）当a＜-2时，m（x）在[a，-2]上是增函数，在（-∞，a]，[-2，+∞）是减函数，

所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a²-12a-8，

故m（-2）=-4a²-12a-8≤0，

即a≤-2，或a≥-1，故a＜-2；

（2）当a＞-2时，m（x）在[-2，a]上是增函数，在（-∞，-2]，[a，+∞）是减函数，

所以m（x）在[a，1]上最大值为m（a）=a²（a+2），

故m（a）=a²（a+2）≤0，则a≤-2与题设矛盾；

（3）当a=-2时，m（x）在[-2，1]上是减函数，

所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a²-12a-8=0，

综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．