问题
解答题
已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e-x，φ（x）=f（x）•g（x）．
（1）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（2）求g（x）在点（0，1）处的切线与直线x=1及曲线g（x）所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
答案
（1）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e-x．φ′（x）=e-x（-x2+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间，（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为：（0，1）
（2）k=g'（0）=-e-x|x-0=-1，切线方程为：y=-x+1
所围成的封闭图形的面积为S=∫01[e-x-（-x+1）]dx=∫01（e-x+x-1）dx=（-e-x+
x2-x)1 2
=l 10
-1 2 1 e
=∫ 10
-1 2 1 e
（3）φ′（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：
由表可知，φ（x）极大=φ（2-a）=（4-a）ea-2
设μ（a）=（4-a）ea-2，μ′（a）=（3-a）ea-2＞，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）ea-2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．（14分）