问题 解答题

设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)

(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;

(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;

(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.

答案

解:(1)如两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,函数图形如图所示;

(2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(﹣2,﹣1),

且与x轴至少有1个交点.

证明如下:将x=0时代入函数中解出y=1,x=﹣2时代入函数中解出Y=﹣1.

所以函数的图象必过定点(0,1),(﹣2,﹣1).

又因为当k=0时,函数y=x+1的图象与x轴有一个交点;

当k≠0时,

∵△=(2k+1)2﹣4k=4k2+1>0,

所以函数图象与x轴有两个交点.

所以函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.

(3)只要写出m≤﹣1的数都可以.

∵k<0,

∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=﹣的左侧,

y随x的增大而增大.

根据题意,得m≤﹣,而当k<0时,﹣=﹣1﹣>﹣1,

所以m≤﹣1.

单项选择题
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