问题 解答题
已知函数f(x)=x2-alnx在(1,2)上是递增函数,g(x)=x-a
x
在(0,1)上为减函数.
(1)求f(x),g(x)的表达式;
(2)求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解;
(3)当b>-1时,若f(x)≥2bx-
1
x2
在x∈(0,1)内恒成立,求b的取值范围.
答案

(1)由题意知:f(x)=

2x2-a
x
≥0在(1,2]上恒成立⇒a≤(2x2min=2,

g(x)=

2
x
-a
2
x
≤0在(0,1]上恒成立⇒a≥(2
x
)max=2

∴a=2,f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2

x

(2).f(x)=g(x)+2x2-2lnx-x+2

x
-2=0,设h(x)=x2-2lnx-x+2
x
-2(x>0),

h(x)=2x-

2
x
+
1
x
3
2

解得h(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)单调递增⇒h(x)min=h(1)=0,

即方程f(x)=g(x)+2在x>0时只有唯一解.

(3)f(x)≥2bx-

1
x2
在(0,1]上恒成立,⇒2b≤x-
2lnx
x
+
1
x3
在(0,1]上恒成立.

H(x)=x-

2lnx
x
+
1
x3
,则H(x)=
x2(x2-2+2lnx)-3
x4

∵0<x≤1⇒x2-2<0,2lnx<0,

∴H′(x)<0,H(x)d (0,1]单调递减,

∴-1<b≤1,又∵b>-1,∴-1<b≤1

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