问题
解答题
已知函数f(x)=x2-alnx在(1,2)上是递增函数,g(x)=x-a
(1)求f(x),g(x)的表达式; (2)求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解; (3)当b>-1时,若f(x)≥2bx-
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答案
(1)由题意知:f′(x)=
≥0在(1,2]上恒成立⇒a≤(2x2)min=2,2x2-a x
又g′(x)=
≤0在(0,1]上恒成立⇒a≥(22
-ax 2 x
)max=2,x
∴a=2,f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2
.x
(2).f(x)=g(x)+2⇒x2-2lnx-x+2
-2=0,设h(x)=x2-2lnx-x+2x
-2(x>0),x
则h′(x)=2x-
+2 x
,1 x 3 2
解得h(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)单调递增⇒h(x)min=h(1)=0,
即方程f(x)=g(x)+2在x>0时只有唯一解.
(3)f(x)≥2bx-
在(0,1]上恒成立,⇒2b≤x-1 x2
+2lnx x
在(0,1]上恒成立.1 x3
设H(x)=x-
+2lnx x
,则H′(x)=1 x3
,x2(x2-2+2lnx)-3 x4
∵0<x≤1⇒x2-2<0,2lnx<0,
∴H′(x)<0,H(x)d (0,1]单调递减,
∴-1<b≤1,又∵b>-1,∴-1<b≤1.