问题
解答题
已知函数f（x）=
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围 （Ⅱ）若f（x）≥lnx恒成立，求实数a的最小值． |
答案
（I）由条件得f′（x）=ax2-x≤0在x＞0上恒成立，
即a≤
在x＞0上恒成立，∴a≤0…（5分）1 x
（II）问题等价于a≥
恒成立，3x2+1+6lnx 2x3
设g（x）=
，3x2+1+6lnx 2x3
则：g′（x）=
=(6x+
)•2x3-(3x2+1+6lnx)6 x 4x6
…（10分）-3(x2-1+6lnx) 2x4
设h（x）=x2-1+6lnx（x＞0），则h（x）是增函数，且h（1）=0
∴由g′（x）＜0，可得h（x）＞0，即x＞1，由g′（x）＞0，可得h（x）＜0，即0＜x＜1，
∴g（x）max=g（1）=2，
故a≥2，因此amin=2…（15分）