（1）∵f（x）=e^x（ax²+x+1），

∴f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]，

①当a=0时，f′（x）=e^x（x+2），令f′（x）＞0，可得x＞-2，令f′（x）＜0，可得x＜-2，

∴f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增；

②当a＜0时，f′（x）═ae^x（x+

1

a

）（x+2），

令f′（x）＞0，可得-2＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0，可得x＜-2或x＞-

1

a

，

∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递减，在（-2，-

1

a

）上单调递增．

综合①②，当a=0时，f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增，

当a＜0时，f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递减，在（-2，-

1

a

）上单调递增；

（2））∵当x=1时，f（x）有极值，

∴f′（1）=0，

∴3ae（1+

1

a

）=0，解得a=-1，

∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=-e^x（x-1）（x+2），

令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，

∴f（x）在[-2，1]上单调递增，

∴函数f（x）在[0，1]单调增，

∴f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1，

从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．

而当θ∈[0，

π

2

]时，cosθ，sinθ∈[0，1]．

从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2，

故当θ∈[0，

π

2

]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．