问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间（-2，2）上不单调，求b的取值范围．
答案
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+5，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
∵函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
即f'（1）=3+2a+b=3 ①，
∵函数y=f（x）在x=-2时有极值，
∴f'（-2）=12-6a+b=0 ②
解得a=2，b=-4，
即f（x）的解析式为f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）函数f（x）在区间（-2，2）不单调，等价于导函数f'（x）在（-2，2）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，
即函数f'（x）在（-2，2）上存在零点，
根据零点存在定理，有f'（-2）f'（2）＜0，
即12+3b）（12-b）＜0
整理得：（b-12）（b-4）＞0，
解得b＜-4或b＞12．