问题
解答题
设a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x-2alnx+1．
答案
（Ⅰ）根据求导法则有f′(x)=1-
+2lnx x
，x＞0，2a x
故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-
=2 x
，x＞0，x-2 x
∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，
所以，在x=2处取得极小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．
所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln2x+2alnx＞0．
故当x＞1时，恒有x＞ln2x-2alnx+1．
