问题
解答题
设函数f（x）=ax3+bx（a≠0），其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
答案
（Ⅰ）∵f′（x）=3ax2+b的最小值为-12
∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为
，1 6
因此，f′（1）=3a+b=-6
∴a=2，b=-12；
（Ⅱ）f（x）=2x3-12x．
f′(x)=6x2-12=6(x+
)(x-2
)，列表如下：2
所以函数f（x）的单调增区间是(-∞，-
)和(2
，+∞)2
∵f（-1）=10，f（
）=-82
，f（3）=182
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（
）=-82
．2