问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值； （2）当a≤0时，求f（x）的单调区间． |
答案
函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∵f′（x）=ax-（2a+1）+2 x
（1）由已知函数f′（1）=f′（3），
则a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+
，解得a=2 3
；2 3
（2）f′（x）=
=ax2-(2a+1)x+2 x
（x∈（0，+∞））(ax-1)(x-2) x
①当a=0时，f′（x）=
，由f′（x）＞0得0＜x＜2，由f′（x）＜0得x＞22-x x
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减
②当a＜0时，由f′（x）=
=0的x1=a(x-
)(x-2)1 a x
（舍去），x2=2，1 a
由f′（x）＞0的0＜x＜2，
由f′（x）＜0的x＞2
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减
综上：当a≤0时，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．