（1）因为f（x）=x+

2a2

x

-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-

2a2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2a2

x2

=

(x+a)(x-2a)

x2

，

①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．

②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．

③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．

综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．

③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．

（2）当a=1时，f（x）=x+

2

x

-lnx(x＞0)．

由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，

所以f（x）_min=f（2）=3-ln2．

因为对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，

所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）_min≥g（x）恒成立，

即3-ln2≥x²-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，

即2b≥x+

1

x

对于任意x∈[1，e]恒成立，

因为函数y=x+

1

x

的导数y′=1-

1

x2

≥0在[1，e]上恒成立，

所以函数y=x+

1

x

在[1，e]上单调递增，所以(x+

1

x

)max=e+

1

e

，

所以2b≥e+

1

e

，所以b≥

e

2

+

1

2e

，

故实数b的取值范围为[

e

2

+

1

2e

，+∞）．