问题
解答题
已知函数y1=x，y2=
（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y1、y2的值； （Ⅱ）说明：对于自变量x的同一个值，均有y1≤y2成立； （Ⅲ）是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条件： ①当x=-1时，函数值y1≤y3≤y2； ②对于任意的实数x的同一个值，都有y1≤y3≤y2， 若存在，求出满足条件的函数y3的解析式；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）当x=1时，y1=1，y2=1；
（2）y1-y2=x-(
x2+1 2
)1 2
=-
x2+x-1 2 1 2
=-
(x2-2x+1)1 2
=-
(x-1)2≤0，1 2
∴y1≤y2；
（3）假设存在y3=ax2+bx+c，使得y1≤y3≤y2成立，
当x=-1时，y3=0，y1=-1，y2=1，
∴a-b+c=0，
当x=1时，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=
，1 2
∴y3=ax2+(a+c)x+c，
若x≤ax2+（a+c）x+c，即0≤ax2+（a+c-1）x+c
得
，即a＞0 (a+c-1)2-4ac≤0
①a＞0 (a-c)2-2(a+c)+1≤0
若ax2+(a+c)x+c≤
x2+1 2
，即(a-1 2
)x2+(a+c)x+(c-1 2
)≤01 2
得
，即a＜ 1 2 (a+c)2-4(a-
)(c-1 2
)≤01 2 a＜ 1 2 (a-c)2+2(a+c)-1≤0
由不等式①、②得：0＜a＜
，（a-c）2≤0，a=c=1 2
，1 4
∴满足条件的函数解析式为y3=
x2+1 4
x+1 2
．1 4