问题
解答题
| 已知：函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）． （1）函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为
（2）若存在x0∈（0，+∞）使f（x0）＞0，求a的取值范围． |
答案
（1）依题意f′(1)=tan
=1，∴-3+2a=1，即a=2．（4分）π 4
（2）f′(x)=-3x(x-
)．2a 3
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减．又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0．（8分）
②若a＞0，则当0＜x＜
时，f'（x）＞0，当x＞2a 3
时，f'（x）＜0．从而f（x）在(0，2a 3
]上2a 3
单调递增，在[
，+∞)上单调递减．∴当x∈（0，+∞）时，2a 3
f(x)max=f(
)=-2a 3
+8a3 27
-4=4a3 9
-4，据题意，4a3 27
-4＞0，即a3＞27，∴a＞3．4a3 27
综上，a的取值范围是（3，+∞）．（12分）