（1）由题意知，f（e）=ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，

∴（a-b）•（e+

1

e

）=0，∴a=b，

（2）由（1）知 f（x）=ax-

a

x

-2•lnx，f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，

令 h（x）=ax²-2x+a，因为f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，

∴在其定义域（0，+∞）内，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．

①当a=0时，h（x）=-2x，

∵x＞0，∴h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，

故a=0满足条件．

②当a＞0时，h（x）图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=

1

a

，h（x）的最小值是a-

1

a

，只需 a-

1

a

≥0，

∴a≥1，即a≥1时，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，故a≥1满足条件．

③当a＜0时，h（x）图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=

1

a

∈（0，+∞），

∴在（0，+∞）内，h（x）≤0成立，

∴f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数，

∴当a＜0时，满足条件．

综上可得，a的取值范围是a≥1或a≤0．