问题
解答题
已知实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a、b、c满足b2＜3ac，求证：函数f（x）是单调函数．
答案
（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f'（x）=3ax2+2bx+c，
∵f（0）=-7，
∴d=-7，
∵f'（0）=-18，
∴c=-18，
∴f'（x）=3ax2+2bx-18，
∵函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
∴-1和3必是f'（x）=0的两个根，
∴
，解得3a-2b-18=0 27a+6a-18=0
，a=2 b=-6
∴f（x）=2x3-6x2-18x-7；
（2）由（1）可知，f'（x）=3ax2+2bx+c，
∵b2-3ac＜0，
∴a≠0，c≠0，
∴f'（x）为二次三项式，
∵△=（2b）2-4（3ac）=4（b2-3ac）＜0，
∴当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调增函数，
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调减函数，
∴对任意给定的非零实数a，函数f（x）总是单调函数．