（I）（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+1nx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．（1分）

∵f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0（2分）

即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

解得

a=- 1 3 b=- 1 3

∴所求a、b的值分别为-

1

3

，-

1

3

（4分）

（ii）在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，

由f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，

∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f'（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是单调递减；

当x∈[

1

2

，1]时，f'（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是单调递增；

当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；

∴f(

1

2

)是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值．（6分）

f(

1

2

)=

1

3

+1n

1

2

=

1

3

-1n2f(2)=-

7

6

+1n2，

且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，

又e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0，

∴[f（x）]min=f（2），∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+1m2，∴c的取值范围为[-

7

6

+1n2，+∞)，

所以c的最小值为-

7

6

+1n2．（9分）

（Ⅱ）当a=b时，f'（x）=

2ax2+x+a

x2

，

①当a=0时，f（x）=1nx．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；

③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从面得a≤-

2

4

，此时f（x）在（0+∞）上单调递减；

综上得，a的取值范围是(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)．（14分）