问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求k的值； （2）求f（x）的单调区间． |
答案
（1）因为函数f(x)=
，所以f′(x)=lnx+k ex
=(lnx+k)′•ex-(lnx+k)•ex e2x
，
•ex-lnx•ex-k•ex1 x e2x
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f′（1）=0，即
=0，解得k=1；e-e•ln1-ke e2
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=
，(
-lnx-1)ex1 x e2x
令g（x）=
-lnx-1，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，1 x
所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．