问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
答案
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即
得3+2a+b=0 1+a+b=-4
．（4分）a=2 b=-7
所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-
＜x＜1，7 3
所以函数f（x）的单调递减区间（-
，1）．（7分）7 3
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=-
，x2=1．7 3
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．（13分）