（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞），

∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．…（1分），

∵f(x)在x=1，x=

1

2

处取得极值，

∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0…（2分）

即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得

a=- 1 3 b=- 1 3

，

∴所求的a，b的值分别为-

1

3

，-

1

3

…（4分）

（ii）因在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，

故只需c≥[f（x）]_min，

由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

．…（6分）

f'（x）导数的符号如图所示

∴f（x）在区间[

1

4

，

1

2

]，[1，2]递减；

[

1

2

，1]递增；…（7分）

∴f（x）在区间[

1

4

，2]上的极小值是f(

1

2

)=

1

3

-ln2．…（8分）

而f(2)=-

7

6

+1n2，且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，

又∵e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0…（10分）

∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）

∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2，即c的最小值是-

7

6

+ln2…（12分）