问题 解答题
已知函数f(x)=lnx+x2-3x-c
(1)若函数f(x)在(
1
2
1
4
+m)上是单调函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
答案

(1)由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=2x-3+

1
x
=
2x2-3x+1
x
=
(2x-1)(x-1)
x

令f′(x)=0,得x=

1
2
或x=1.

由f′(x)>0,解得x>1或0<x

1
2

由f′(x)<0,解得

1
2
<x<1

∴f(x)的单调递增区间为(0,

1
2
),(1,+∞);

f(x)的单调递减区间为(

1
2
,1).

要使函数f(x)在区间(

1
2
,m+
1
4
)上是单调函数,

1
2
<m+
1
4
≤1,即
1
4
<m≤
3
4

则故实数m的取值范围是

1
4
<m≤
3
4

(3)由题意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,

即当x∈[1,4]时,c>x2-5x+2lnx恒成立.

设g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],则c>g(x)max

g′(x)=2x-5+

2
x
=
2x2-5x+2
x
=
(x-2)(2x-1)
x

令g′(x)=0得,x=

1
2
或x=2.

当x∈(1,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;

当x∈(2,4)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.

而g(1)=12-5×1+2ln1=-4,g(4)=42-5×4+2ln4=-4+4ln2,

显然g(1)<g(4),

故函数g(x)在[1,4]上的最大值为g(4)=-4+4ln2,

故c>-4+4ln2.

∴c的取值范围为(-4+4ln2,+∞).

单项选择题
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