已知函数f(x)=lnx+x2-3x-c (1)若函数f(x)在(
(2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围. |
(1)由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x-3+
=1 x
=2x2-3x+1 x
.(2x-1)(x-1) x
令f′(x)=0,得x=
或x=1.1 2
由f′(x)>0,解得x>1或0<x<
,1 2
由f′(x)<0,解得
<x<11 2
∴f(x)的单调递增区间为(0,
),(1,+∞);1 2
f(x)的单调递减区间为(
,1).1 2
要使函数f(x)在区间(
,m+1 2
)上是单调函数,1 4
则
<m+1 2
≤1,即1 4
<m≤1 4
.3 4
则故实数m的取值范围是
<m≤1 4
.3 4
(3)由题意可知,2x-lnx>x2-3x-c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,
即当x∈[1,4]时,c>x2-5x+2lnx恒成立.
设g(x)=x2-5x+2lnx,x∈[1,4],则c>g(x)max.
g′(x)=2x-5+
=2 x
=2x2-5x+2 x
.(x-2)(2x-1) x
令g′(x)=0得,x=
或x=2.1 2
当x∈(1,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x∈(2,4)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
而g(1)=12-5×1+2ln1=-4,g(4)=42-5×4+2ln4=-4+4ln2,
显然g(1)<g(4),
故函数g(x)在[1,4]上的最大值为g(4)=-4+4ln2,
故c>-4+4ln2.
∴c的取值范围为(-4+4ln2,+∞).