问题
解答题
已知f（x）=ex-ax-1
（Ⅰ）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）单调递增，求a的值；
（Ⅲ）设在g（x）=-x2+2x-2在（Ⅱ）的条件下，求证g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．
答案
（Ⅰ）∵f（x）=ex-ax-1，
∴f′（x）=ex-a，
∵f（x）在定义域R内单调递增，
∴ex-a≥0在R上恒成立，即a≤ex在R上恒成立，
∵ex＞0，
∴a≤0．
（Ⅱ）由题意知，若f（x）在（-∞，0]上单调递减，则ex-a≤0在（-∞，0]上恒成立，
∴a≥ex在（-∞，0]上恒成立，
∵y=ex在（-∞，0]上为增函数，
∴x=0时，y=ex最大值为1，
∴a≥1，
同理可知，ex-a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤ex在[0，+∞）上恒成立，
∵y=ex在[0，+∞）上为增函数，
∴x=0时，y=ex最小值为1，
∴a≤1，
综上可知，当a=1时，满足f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）将g（x）的图象恒在f（x）图象的下方转化为g（x）＜f（x）恒成立，
由（I）可知f（0）是f（x）的最小值，有f（x）≥f（0），而f（0）=e0-0-1=0，
∴f（x）≥0，
∵g（x）=-（x-1）2-1，
∴g（x）≤-1，
∴f（x）＞g（x），即g（x）的图象恒在f（x）图象的下方，
故在g（x）=-x2+2x-2在（Ⅱ）的条件下，求证g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．