问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）=ax3-3x2（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
答案
（1）由f（x）=ax3-3x2，得f′（x）=3ax2-6x．
∵x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=3a-6=0，解得a=2；
（2）∵f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
若a=0，则f′（x）=-6x，当x＞0时，f′（x）0．
函数的减区间为（0，+∞），增区间为（-∞，0）；
若a＞0，当x∈（-∞，0），(
，+∞)时，f′（x）＞0，当x∈(0，2 a
)时，f′（x）＜02 a
函数的减区间为(0，
)，增区间为（-∞，0），(2 a
，+∞)；2 a
若a＜0，当x∈(-∞，
)，(0，+∞)时，f′（x）02 a
函数的减区间为(-∞，
)，(0，+∞)，增区间为(2 a
，0)．2 a