（Ⅰ）由已知由函数f（x）的定义域为x＞-a，f′(x)=1-

1

x+a

=

x+a-1

x+a

，

∵-a＜-a+1，

∴由f'（x）＞0，得x＞-a+1，

由f'（x）＜0，得-a＜x＜-a+1，

所以函数f（x）的减区间为（-a，-a+1），增区间为（-a+1，+∞）．（4分）

（II）由题意，得f'（1）=0，

∴a=0．（5分）

∴由（Ⅰ）知f（x）=x-lnx，

∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，

∴x²-3x+lnx+b=0，

设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），

则g'（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

当x∈[

1

2

，2]变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：（6分）

∵方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，

∴

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0 g(2)≥0

，

∴

5

4

+ln2≤b＜2，即b∈[

5

4

ln2，2)．（8分）

（III）由（I）和（II）可知当a=0，x∈[

1

2

，+∞)时，f（x）≥f（1），

即lnx≤x-1，

∴当x＞1时，lnx＜x-1．（10分）

令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），

则ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．

所以当n≥2，n∈N^*时，

ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

++

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n×(n-1)

=1-

1

n

＜1，

即ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)(1+

1

n2

)＜1，

∴(1+

1

22

)(1+

1

32

)(1+

1

n2

)＜e．（12分）