（1）（2）①b＝－3－2a②1－＜a＜1＋.

(1)∵f′(x)＝(2x＋a)e^x＋(x²＋ax＋b)e^x＝[x²＋(2＋a)x＋(a＋b)]e^x，

当a＝2，b＝－2时，f(x)＝(x²＋2x－2)e^x，

则f′(x)＝(x²＋4x)e^x，

令f′(x)＝0得(x²＋4x)e^x＝0，

∵e^x≠0,∴x²＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，

列表如下：

x	(－∞，－4)	－4	(－4，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值	

∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)_极大值＝.

(2)①由(1)知f′(x)＝[x²＋(2＋a)x＋(a＋b)]e^x.

∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，

即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.

②由①知f′(x)＝e^x[x²＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝e^x(x－1)[x＋(3＋a)]，

当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e.

∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e⁴＞0，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，

即[－(a＋2)e，(2a＋13)e⁴]．

又g(x)＝(a²＋14)e^x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a²＋14)e⁴，(a²＋14)e⁸]，

∴(a²＋14)e⁴－(2a＋13)e⁴＝(a²－2a＋1)e⁴＝(a－1)²e⁴≥0，

∴存在ξ₁、ξ₂∈[0，4]使得|f(ξ₁)－g(ξ₂)|＜1成立只须(a²＋14)e⁴－(2a＋13)e⁴＜1(a－1)²e⁴＜1(a－1)²＜1－＜a＜1＋.