问题
解答题
| 函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2 （1）如果函数g（x）单调减区间为（-
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程； （3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围． |
答案
（1）∵g'（x）=3x2+2ax-1，若函数g（x）单调减区间为（-
，1），由g'（x）=3x2+2ax-1＜0，解为-1 3
＜x＜1，1 3
∴-
，1是方程g'（x）=0的两个根，1 3
∴-
+1=-1 3
⇒a=-1，2a 3
∴g（x）=x3-x2-x+2…（4分）
（2）设切点为（x0，y0），则切线方程为y-y0=(3x02-2x0-1)(x-x0)，将（1，1）代入
得-1(x03-x02-x0+2)=(3x02-2x0-1)(x-x0)x0(x0-1)2=0x0=0或x0=1．
所以切线方程为y=-x+2或y=1…（9分）
（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x2+2ax-1+2成立．
所以2ax≤2xlnx-3x2-1，在x＞0时有解，所以2a≤2lnx-3x-
最大值，1 x
令h(x)=2lnx-3x-
，则h′(x)=1 x
-3+2 x
=1 x2
，-(x-1)(3x+1) x2
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．
∴x=1时，h（x）max=-4，
∴2a≤-4，
即a≤-2…（14分）