问题 解答题

已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)的图象与x轴相切,且在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.

(I)求函数f(x)的表达式;

(II)设函数g(x)=xf(x),求g(x)的极值;

(III)设函数h(x)=g(x)+x-k,当h(x)存在3个零点时,求实数k的取值范围.

答案

(I)由题意,令△=a2-4a=0,解得a=0或4.

当a=0时,f(x)=x2,在(0,+∞)单调递增,不符合题意;

当a=4时,f(x)=(x-2)2,在区间(0,2)上单调递减,符合题意.

∴f(x)=x2-4x+4.

(II)g(x)=xf(x)=x3-4x2+4x,g′(x)=3x2-8x+4,

令g′(x)=0,解得x=

2
3
或2.

列表如下:g(x)极大值=g(

2
3
)=
32
27
,g(x)极小值=g(2)=0.

(III)h(x)=g(x)+x-k=x3-4x2+5x-k,

∴h′(x)=3x2-8x+5,令h′(x)=0,解得x=

5
3
或1.

可知h(x)极大值=h(1),h(x)极小值=h(

5
3
).

由题意h(x)存在3个零点,则

h(1)>0
h(
5
3
)<0
,解得
50
27
<k<2

所以实数k的取值范围是(

50
27
,2).

单项选择题
单项选择题