问题
解答题
已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)的图象与x轴相切,且在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
(I)求函数f(x)的表达式;
(II)设函数g(x)=xf(x),求g(x)的极值;
(III)设函数h(x)=g(x)+x-k,当h(x)存在3个零点时,求实数k的取值范围.
答案
(I)由题意,令△=a2-4a=0,解得a=0或4.
当a=0时,f(x)=x2,在(0,+∞)单调递增,不符合题意;
当a=4时,f(x)=(x-2)2,在区间(0,2)上单调递减,符合题意.
∴f(x)=x2-4x+4.
(II)g(x)=xf(x)=x3-4x2+4x,g′(x)=3x2-8x+4,
令g′(x)=0,解得x=
或2.2 3
列表如下:∴g(x)极大值=g(
)=2 3
,g(x)极小值=g(2)=0.32 27
(III)h(x)=g(x)+x-k=x3-4x2+5x-k,
∴h′(x)=3x2-8x+5,令h′(x)=0,解得x=
或1.5 3
可知h(x)极大值=h(1),h(x)极小值=h(
).5 3
由题意h(x)存在3个零点,则
,解得h(1)>0 h(
)<05 3
<k<2.50 27
所以实数k的取值范围是(
,2).50 27