问题
解答题
已知函数f（x）=x2-ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．
答案
（I）由题意，令△=a2-4a=0，解得a=0或4．
当a=0时，f（x）=x2，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；
当a=4时，f（x）=（x-2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．
∴f（x）=x2-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=
或2．2 3
列表如下：
∴g(x)极大值=g(
)=2 3
，g（x）极小值=g（2）=0．32 27
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得x=
或1．5 3
可知h（x）极大值=h（1），h(x)极小值=h(
)．5 3
由题意h（x）存在3个零点，则
，解得h(1)＞0 h(
)＜05 3
＜k＜2．50 27
所以实数k的取值范围是(
，2)．50 27
