问题
解答题
已知一条抛物线经过A（0，3），B（4，6）两点，对称轴是x=
（1）求这条抛物线的关系式； （2）证明：这条抛物线与x轴的两个交点中，必存在点C，使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD． |
答案
（1）设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
∵A（0，3），B（4，6），对称轴是直线x=
，5 3
∴
，c=3 16a+4b+c=6 -
=b 2a 5 3
解得a= 9 8 b=- 15 4 c=3
∴y=
x2-9 8
x+3．15 4
（2）证明：令y=0，得
x2-9 8
x+3=0，15 4
∴x1=
•x2=2，4 3
∵A（0，3），取A点关于x轴的对称点E，
∴E（0，-3），
设直线BE的关系式为y=kx-3，把B（4，6）代入上式，得6=4k-3，
∴k=
，9 4
∴y=
x-3，9 4
由
x-3=0，9 4
得x=
．4 3
故C为(
，0)，C点与抛物线在x轴上的一个交点重合，4 3
在x轴上任取一点D，在△BED中，BE＜BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，
∴AC+BC＜AD+BD，
若D与C重合，则AC+BC=AD+BD，
∴AC+BC≤AD+BD．