问题
解答题
（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝－x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝3，试确定函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在其图象上任意一点(x0，f(x0))处切线的斜率都小于2a2，求a的取值范围．
答案
．解：(1)f(x)＝－x3＋x2＋3x＋b.f′(x)＝－x2＋2x＋3，
令f′(x)>0，得－1<x<3，
令f′(x)<0得x<－1或x>3
故f(x)的单
调增区间为(－1,3)，减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．…………6分
(2)∵f′(x)＝－x2＋2x＋a，由题意得
－x2＋2x＋a<2a2对任意x∈R成立．
即x2－2x>a－2a2对任意x∈R恒成立．
设g(x)＝x2－2x＝(x－1
)2－1，∴g(x)min＝－1，
∴－1>a－2a2，得a>1或a<－. …………………12分