问题
解答题
有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．
答案
此题答案不唯一
设所求解析式为y=a（x-x1）（x-x2），（其中x1＜x2），则
其图象与x轴两交点分别是A（x1，0），B（x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）．
因为交点式a（x-x1）（x-x2），
又因为与y轴交点的横坐标为0，
所以a（0+x1）（0+x2），也就是ax1x2，
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4-x1，即：x1+x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x2-x1）•|ax1x2|=6，即：x2-x1=
②6 |ax1x2|
①②两式相加减，可得：x2=4+
，3 |ax1x2|
x1=4-
，3 |ax1x2|
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，
∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3．
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±1 7
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±1 5
因此，所求解析式为：y=±
（x-7）（x-1）或y=±1 7
（x-5）（x-3）1 5
即：y1=
x2-1 7
x+1，8 7
y2=-
x2+1 7
x-1．8 7
y3=
x2-1 5
x+3，8 5
y4=-
x2+1 5
x-3．8 5
故答案为：y=
x2-1 5
x+3（答案不唯一）．8 5