问题 解答题

直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.

答案

根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成

它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长

∵两直角边边长分别为3和4,

∴斜边长为

32+42
=5,

由面积公式可得斜边上的高为h=

3×4
5
=
12
5

可得所求旋转体的底面半径r=

12
5

因此,两个圆锥的侧面积分别为

S上侧面=π×

12
5
×4=
48π
5
;S下侧面=π×
12
5
×3=
36π
5

∴旋转体的表面积S=

48π
5
+
36π
5
=
84π
5

由锥体的体积公式,可得旋转体的体积为V=

1
3
π×(
12
5
)2
×5=
48π
5

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