问题
解答题
( (本小题满分13分)
已知函数f(x)＝(a－1)x＋aln(x－2)，(a<1).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a<0时，对任意x1、x2∈(2，＋∞)，<－4恒成立，求a的取值范围.
答案
.解：(1) ∵f′(x)＝(a－1)＋＝(1分)
①a<0时，f′(x)＝
∵－2＝<0，∴0<<2，∴x>2时，f′(x)<0
∴f(x)在(2，＋∞)上递减.(3分)
②a＝0时，f(x)＝－x，在(2，＋∞)上递减.(4分)
③0<a<1时，>2
∴x∈(2， )时，f′(x)>0，f(x)在(2，)上递增；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(，＋∞
)上递减；(6分)
∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(2，＋∞)上递减，
当0<a<1时，f(x)在(2，)上递增，在(，＋∞)上递减.(7分)
(2)当a<0时，f(x)在(2，＋∞)上递减；
不妨设任意x1，x2∈(2，＋∞)且x1<x2
<－4可变为f(x1)－f(x2)>－4(x1－x2)
f(x1)＋4x1>f(x2)＋4x2
∴令g(x)＝f(x)＋4x，∴g(x)在(2，＋∞)上递减
∴g′(x)<0在(2，＋∞)上恒成立
∴a－1＋＋4<0在(2，＋∞)上恒成立.
a<－3＋在(2，＋∞)上恒成立
而－3<－3＋<0，∴a≤－3.(13分)
