已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标

问题解答题

已知抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是(-

，

4ac-b2

)，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式 ______，伴随直线的解析式 ______；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是 ______；
（3）求抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₂＞x₁＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．

答案

（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；

（2）y=x²-2x-3；

（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），

∵设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0），

∵此抛物线过P（-

，

4ac-b2

），

∴

4ac-b2

=m•（-

）²+c，

解得m=-a，

∴伴随抛物线解析式为y=-ax²+c；

设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），

P（-

，

4ac-b2

）在此直线上，

∴

4ac-b2

k+c，

∴k=

，

∴伴随直线解析式为y=

x+c；

（4）∵抛物线L与x轴有两交点，

∴△₁=b²-4ac＞0，

∴b²＞4ac；

∵x₂＞x₁＞0，

∴x₂+x₁=-

＞0，x₁•x₂=

＞0，

∴ab＜0，ac＞0．

对于伴随抛物线有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±

．

∴C（-

，0），D（

，0），CD=2

，

又AB=x₂-x₁=

(x2-x1)2

(x1+x2)2-4x1x2

)2-

b2-4ac

|a|

，

∵AB=CD，则有：2

b2-4ac

|a|

，即b²=8ac，

综合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0

可得a、b、c需满足的条件为：

b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．