问题
解答题
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.
答案
（1）f(x)的递增区间是(－∞，2－
)与(2＋，＋∞)；
f(x)的递减区间是(2－，2＋)
（2）
(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1.
f′(x)＝3x2－12x＋3
＝3(x2－4x＋1)
＝3(x－2＋)(x－2－)．
当x＜2－，或x＞2＋时，得f′(x)＞0；
当2－＜x＜2＋时，得f′(x)＜0.
因此f(x)的递增区间是(－∞，2－)与(2＋，＋∞)；
f(x)的递减区间是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3，
Δ＝36a2－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x1x2＝1，
可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，
解得
＜a＜
，
因此a的取值范围是.