问题 解答题

已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.

(1)设a=2,求f(x)的单调区间;

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.

答案

(1)f(x)的递增区间是(-∞,2-)与(2+,+∞);

f(x)的递减区间是(2-,2+)

(2)

(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1.

f′(x)=3x2-12x+3

=3(x2-4x+1)

=3(x-2+)(x-2-).

当x<2-,或x>2+时,得f′(x)>0;

当2-<x<2+时,得f′(x)<0.

因此f(x)的递增区间是(-∞,2-)与(2+,+∞);

f(x)的递减区间是(2-,2+).

(2)f′(x)=3x2-6ax+3,

Δ=36a2-36,由Δ>0得,a>1或a<-1,又x1x2=1,

可知f′(2)<0,且f′(3)>0,

解得<a<

因此a的取值范围是.

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