问题
解答题
（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
答案
(1) a≤0(2) f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.
题目分析：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.………………1分
由f′(x)>0(x≥1)，得a<
(x－
)．………………2分
记t(x)＝ (x－)，
当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝ (1－1)＝0.………………3分
∴a<0，又∵a＝0时也符合题意，故a≤0.………………4分
(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4，………………6分
∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－
，x2＝3.………………8分
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
| x | (－∞，－) | － | (－，3) | 3 | (3，＋∞) |
| f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) |  | 极大值 |  | 极小值 | |
∴当x∈(－∞，－]与[3，＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈[－，3]时，f(x)是减函数．
于是，当x∈[1,4]时，有极小值f(3)＝－18；………………10分
而f(1)＝－6，f(4)＝－12，
∴f(x)max＝f(1)＝－6，f(x)min＝－18.………………12分
点评：解(1)过程中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题