问题
解答题
已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．
答案
（1）f(x)＝x3－3x（2）4
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3.
由题意，得
即
解得
所以f(x)＝x3－3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1.
| x | －2 | (－2，－1) | －1 | (－1，1) | 1 | (1，2) | 2 |
| f′(x) | ＋ | － | ＋ | ||||
| f(x) | －2 | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 | 2 |
则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.