已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1上，点B与

问题解答题

已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1上，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，

（1）求k的值和点B的坐标；

（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线？如果存在，求出符合条件的直线的解析式；如果不存在，简要说明理由．

答案

（1）根据题意，将x=-1，y=-1，代入抛物线的解析式，得

（k²-1）×（-1）²-2（k-2）×（-1）+1=-1

解得k₁=1，k₂=-3．

由于k²-1≠0，所以k=-3．

抛物线的解析式是y=8x²+10x+1，

对称轴为直线x=-

，

∵点B和点A（-1，-1）关于直线x=-

对称，

∴B（-

，-1）．

（2）存在．

理由如下：

设经过点B的直线的解析式是y=mx+n，将B点坐标代入得m-4n=4．①

又∵要使直线与抛物线只有一个公共点，

只要使方程mx+n=8x²+10x+1有两个相等的实数根，

方程mx+n=8x²+10x+1

整理得，8x²+（10-m）x+1-n=0，

得△=（10-m）²-32（1-n）=0②

将①代②，解出，m=6，n=

，

则它的解析式是y=6x+

．

又有过点B，平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点，

即x=-

．

答：直线的解析式y=6x+

或x=-

．