为推进节能减排,发展低碳经济,深化“宜居重庆”的建设,我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后,进一步投入资金1520万元购买配套设备,以提高用电效率达到节约用电的目的.已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价,需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件新产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元,但不超过300元时,每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x元),年销售量为y万件),年获利为w万元).
(年获利=年销售额-生产成本-节电投资)
(1)直接写出y与x间的函数关系式;
(2)求第一年的年获利w与x函数关系式,并说明投资的第一年,该“用电大户”是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?
(3)若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元,但不超过200元的范围内,并希望到第二年底,除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后,两年的总盈利为1842万元,请你确定此时销售单价.在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?
(1)当100<x≤200,
y=20-
×0.8,x-100 10
∴y=-
x+28,2 25
当200<x≤300,
把x=200代入y=-
x+28,2 25
得:y=12,
∴y=12-
×1,x-200 10
y=-
x+32;1 10
(2)当100<x≤200时,
w=(x-40)y-(1520+480)
=(x-40)(-
x+28)-2000,2 25
=-
x2+2 25
x-3120,156 5
=-
(x-195)2-782 25
∵-
<02 25
x=195,w最大=-78
当200<x≤300时,
w=(x-40)y-(1520+480)
=(x-40)(-
x+32)-2000,1 10
=-
x2+36x-3280,1 10
=-
(x-180)2-40,1 10
当x=180时,不在200<x≤300范围内,
∵-
<0,∴当在200<x≤300时,y随x的增大而减小,2 25
∴w<-80
是亏损的,最少亏损为78万元.(7分)
(3)依题意可知,当100<x≤200时,第二年w与x关系为
w=(x-40)(-
x+28)-782 25
当总利润刚好为1842万元时,依题意可得(x-40)(-
x+28)-78=1842(8分)2 25
整理,得x2-390x+38000=0
解得,x1=190,x2=200
∴要使两年的总盈利为1842万元,销售单价可定为190元或200元.(9分)
∵对y=-
x+28,y随x增大而减小2 25
∴使销售量最大的销售单价应定为190元.(10分)