问题
解答题
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知A，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋Ax2＋b x的两个极值点．
(1)求A和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
答案
(1) 
；(2) 函数g(x)的极值点为
．
题目分析：(1)极值点时，函数取得极值，对应的导函数的值为
，先对函数求导得
，当
取
时，导函数值为，得到关于
的二元一次方程，解得的值；(2)由
知
，令
得
或，两数将定义域分成三个部分，根据极值定义列表判断，可知当
时函数有极小值．
解：(1)因为
，
所以f′(x)＝3x2＋2Ax＋b，且f′(－1)＝3－2A＋b＝0，f′(1)＝3＋2A＋b＝0，
解得A＝0，b＝－3． 4分
经检验，当A＝0，b＝－3时，1和－1是函数f(x)＝x3＋Ax2＋bx的两个极值点．
综上，所求的A和b的值分别为0，－3． 5分
(2)由(1)，知f(x)＝x3－3x，所以g′(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)，
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－2， 7分
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下所示：
| x | (－∞，－2) | －2 | (－2,1) | 1 | (1，＋∞) |
| g′(x) | － | 0 | ＋ | 0 | ＋ |
| g(x) | ↘ | 极小值 | ↗ | 不是极值 | ↗ |
所以x＝－2是函数g(x)的极小值点，
即函数g(x)的极值点为－2． 12分