问题
解答题
已知二次函数y=mx2+4（m-3）x-16
（1）证明：该二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当m为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小？求出这个最小值，并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标．
答案
（1）令y=0，得mx2+4（m-3）x-16=0①，
∵△=16（m-3）2+64m=16（m2-2m+9）=16（m-1）2+128，
故不论m为任何不为0的实数，都有△＞0，
∴方程①有两个不等的实根，
∴二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，
∵y=mx2+4（m-3）x-16是二次函数，∴m≠0，
∴二次函数与x轴两交点的距离|x1-x2|=
=△ |m| 16(m-3)2+64m |m|
=
=416(m2-2m+9) m2
=41-
+2 m 9 m2
，(
-3 m
) 2+1 3 8 9
当且仅当
-3 m
=0，即m=9时，|x1-x2|有最小值，最小值为1 3
，8 2 3
把m=9代入原式，得此时二次函数为y=9x2+24x-16，
∵9＞0，∴当x=-
=-b 2a
=-24 18
时，ymin=4 3
=4ac-b2 4a
=-32，36×16-242 36
∴此时二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（-
，-32）．4 3