问题
解答题
在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T0：y=x2的切线，其切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2）。
（1）求x1与x2的值；
（2）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的方程；
（3）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值。
答案
解：（1）由y=x2可得y'=2x
∵直线PM与曲线T0相切，且过点P（1，-1），
∴
，即
∴
或
同理可得：
或
∵x1＜x2，
∴x1=
。
（2）由（1），可知x1+x2=2，x1·x2=-1，
则直线MN的斜率
∴直线M的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），
又
，
∴
即2x-y+1=0
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，
即
故圆E的方程为
。
（3）四边形ABCD的面积为
不妨设圆心E到直线AC的距离为d1，垂足为E1；
圆心E到直线BD的距离为d2，垂足为E2；
则
，
由于四边形EE1OE2为矩形，且
所以
由基本不等式2ab≤a2+b2可得
当且仅当d1=d2时等号成立。