问题
解答题
已知抛物线y=-x2+（m-2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0），交y轴的正半轴于C点，且x1＜x2，|x1|＞|x2|，OA2+OB2=2OC+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
答案
（1）由条件知AO=|x1|=-x1，OB=|x2|=x2，OC=3（m+1），
∵OA2+OB2=2OC+1，x12+x22=6（m+1）+1，
∴（x1+x2）2-2x1x2=6（m+1）+1，
即（m-2）2+6（m+1）=6（m+1）+1，
得：m1=3，m2=1，
∵x1＜x2，|x1|＞|x2|，
∴x1＜x2=m-2＜0，
∴m=1．
∴函数的解析式为y=-x2-x+6
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线．
C点的坐标为（0，6），
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线也抛物线只有一个公共点，
∴直线x=0．
②过C点的直线y=kx+6，与抛物线y=x2-x+6只有一个公共点C，
即
，只有一个实数解．y=-x2-x+6 y=kx+6
∴x2-（k+1）x=0，
又∵△=0，
∴（k+1）2=0，
∴k=-1，
∴y=-x+6．
∴符合条件的直线的表达式为y=-x+6或x=0．