问题
解答题
已知：某函数的自变量x＞0时，其相应的函数值y＞1．
（1）请写出一个满足条件的一次函数的解析式；
（2）当函数的解析式为y=（m+4）x2-2（m+4）x+5-m时，求m的取值范围；
（3）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，点O为坐标原点．
①当直线l与（2）中的抛物线只有一个公共点时，求n的取值范围；
②当直线l与（2）中的抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得△AOB的面积为定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由．
答案
（1）y=x+2（答案不唯一）；
（2）当m=-4时，y=9；
当m≠-4时，y=（m+4）x2-2（m+4）+5-m的顶点坐标是：（1，-2m+1），
根据题意得：
，m＞-4 -2m+1＞1
解得：-4＜m＜0．
综上所述，m的范围是：-4＜m＜0；
（3）①∵直线l与（2）的抛物线只有一个公共点，
∴n=-2m+1
∵-4＜m＜0，
∴n的范围是：1＜n＜9；
②结论：存在实数n，使得△AOB的面积为定值．
理由：n=（m+4）x2-2（m+4）x+5-m，
整理，得：（x2-2x-1）m+（4x2-8x+5-n）=0，
∵对于任意的m的值，上式恒成立，
∴
，x2-2x-1=0 4x2-8x+5-n=0
解得：n=9．
∴当n=9时，对于任意的m的值，二次函数y=（m+4）x2-2（m+4）x+5-m的图象都通过点（1-
，9）和点（1+2
，9），即△AOB的底AB=22
，高是9，因此面积是定值．2